Revista Polo del Conocimiento


Polo del Conocimiento

 

 

Modelo neurodifuso de hidrogenerador Francis y de su controlador PI+D obtenido partiendo de la identificacin del modelo LTI y de la ley generada para su controlador PID

 

Neurofuzzy model of the Francis hydrogenerator and its PI+D controller obtained from the identification of the LTI model and the law generated for its PID controller

 

Modelo neurofuzzy do hidrogerador Francis e seu controlador PI+D obtido a partir da identificao do modelo LTI e da lei gerada para seu controlador PID

Jess Rodrguez Flores I
jesus.rodriguez@espoch.edu.ec
https://orcid.org/0000-0002-2723-9850
Alexandra Pazmio Armijos II
apazmino_a@espoch.edu.ec
https://orcid.org/0000-0003-3192-5084
Juan Rocha III
juan.rocha@espoch.edu.ec
https://orcid.org/0000-0001-8003-3619
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Correspondencia: [email protected]

 

 

Ciencias Tcnicas y Aplicadas

Artculo de Investigacin

* Recibido: 23 de abril de 2022 *Aceptado: 12 de mayo de 2022 * Publicado: 17 de junio de 2022

 

  1. Escuela Superior Politcnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.
  2. Escuela Superior Politcnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.
  3. Escuela Superior Politcnica de Chimborazo, Riobamba, Ecuador.

Resumen

El presente documento responde a las interrogantes de cmo obtener un modelo diferencial neu-rodifuso de un generador hidroelctrico de la Central hidroelctrica Agoyn para luego sintonizar controladores PID tanto lineales e invariante en el tiempo como neurodifuso y evaluar la bondad de ajuste para cuando se especifica un polo dinmico para el desempeo. La obtencin de los modelos exigi una muestra de variacin en pequea seal de potencia debido a una variacin de control. Aplicando la funcin de costo de la raz del error cuadrtico medio y la raz del error cuadrtico medio relativo porcentual, se ajustaron los parmetros del sistema empleando el mtodo del gra-diente decreciente. Finalmente, con ayuda de los modelos lineales, se procedi a inicializar los sin-gletones de los modelos neurodifusos empleando el gradiente decreciente y la funcin de costo mencionada, en dos etapas, la primera etapa de ajuste de singletones se efectu sin dinmica y la siguiente con la dinmica del sistema simulado. Los resultados demostraron que el desarrollo del modelo LTI de la unidad hidrogeneradroa Agoyn permiti el desarrollo del modelo neurodifuso de la misma, como punto de partida para ajustes que incorporen comportamientos de tipo no lineal.

Palabras Clave: modelo diferencial; lgica borrosa; control PID, hidrogenerador.

 

Abstract

This document answers the questions of how to obtain a neuro-fuzzy differential model of a hydroelectric generator of the Agoyn hydroelectric power plant to then tune both linear and time-invariant and neuro-fuzzy PID controllers and evaluate the goodness of fit for when a variable is specified. dynamic pole for performance. Obtaining the models required a sample of variation in a small power signal due to a control variation. Applying the cost function of the root mean square error and the percentage relative root mean square error, the system parameters were adjusted using the method of decreasing gradient. Finally, with the help of the linear models, the singletons of the neurofuzzy models were initialized using the decreasing gradient and the mentioned cost function, in two stages, the first singleton adjustment stage was carried out without dynamics and the following with the dynamics of the simulated system. The results showed that the development of the LTI model of the Agoyn hydroelectric unit allowed the development of its neurofuzzy model, as a starting point for adjustments that incorporate nonlinear behaviors.

Keywords: differential model; fuzzy logic; PID control, hydrogenerator.

 

Resumo

Este documento responde s questes de como obter um modelo diferencial neuro-fuzzy de um gerador hidreltrico da usina hidreltrica de Agoyn para ento ajustar controladores PID lineares e invariantes no tempo e neuro-fuzzy e avaliar a qualidade do ajuste para quando uma varivel especificado plo dinmico para desempenho. A obteno dos modelos exigiu uma amostra de variao em um sinal de pequena potncia devido a uma variao de controle. Aplicando a funo de custo da raiz quadrada mdia do erro e a porcentagem relativa da raiz quadrada mdia do erro, os parmetros do sistema foram ajustados pelo mtodo do gradiente decrescente. Por fim, com o auxlio dos modelos lineares, os singletons dos modelos neurofuzzy foram inicializados usando o gradiente decrescente e a funo de custo mencionada, em duas etapas, a primeira etapa de ajuste singleton foi realizada sem dinmica e a seguinte com a dinmica do sistema simulado. Os resultados mostraram que o desenvolvimento do modelo LTI da unidade hidreltrica de Agoyn permitiu o desenvolvimento de seu modelo neurofuzzy, como ponto de partida para ajustes que incorporam comportamentos no lineares.

Palavras-chave: modelo diferencial; lgica difusa; Controle PID, hidrogerador.

Introduccin

La investigacin realizada es importante porque plantea el procedimiento que debe seguirse para generar un modelo neurodifuso de una unidad hidrogeneradora. Aunque el estudio ha sido realizado para la central hidroelctrica Agoyn, en el Ecuador, el procedimiento aplica para cualquier central hidroelctrica del tipo Francis, pudiendo extenderse a centrales hidroelctricas del tipo Kaplan. Adicionalmente, los estudios de sintonizacin de controladores para centrales hidroelctricas del tipo Francis, suelen presentarse por tablas, por el contrario, en esta investigacin se plantea como sintonizar el controlador PID con bases en la identificacin del sistema, necesitando tan slo un registro de variacin de control y de la potencia elctrica, y tomando en consideracin, para la asignacin de polo, del tiempo mximo de apertura programado para el servomotor. Finalmente, este trabajo constituye el punto de partida de un modelo neurodifuso funcional de todos los subsistemas de la unidad hidrogeneradora, operando en lazo cerrado, que posteriormente puede ser entrenado para incorporar ciertas no linealidades atribuidas principalmente a la turbina y al controlador.

Resulta claro que el propsito de esta investigacin es platear un modelo neurodifuso de una unidad hidrogeneradora y su controlador, partiendo de un registro causa efecto que permita una identificacin en tiempo continuo del tipo LTI para luego obtener un controlador PID clsico capaz de cumplir con una especificacin de desempeo dada por un polo de un sistema de segundo orden, que permitan el entrenamiento del modelo neurodifuso planteado.

En el ao de 1962 Hovey [1]( pp. 581-586) presenta la metodologa empleada por Manitoba Hydro para establecer el ajuste ptimo de los gobernadores de las centrales hidrogeneradoras ubicadas en el ro Winnipeg. El criterio en el que se fundamenta la entonacin consiste en obtener una respuesta crticamente amortiguada, para compensar las variaciones de frecuencia, para cuando la unidad hidrogeneradora se encuentra generando aislada y es perturbada por una pequea variacin de carga.

Para el ao de 1966 Schleif [2] ( pp. 750-758) publica las ventajas de la entonacin, aplicando los criterios de Hovey, para suprimir las competencias de regulacin entre los diferentes gobernadores de las unidades hidrogeneradoras de una misma central hidroelctrica, aunque ms tarde, en 1967 Undrill y Woodward [3]( pp. 443-453) discrepen con Hovey sobre la metodologa propuesta por este ltimo, para determinar el estatismo transitorio sin objetar el criterio de ajuste ptimo propuesto.

Es en el ao de 1970 y ratificado en el 2013, cuando Chaudhry [4](pp. 131-136) investigando las fronteras de estabilidad para una central hidroelctrica amplia el trabajo realizado por Hovey incorporando tanto el estatismo transitorio como el permanente. El ao de 1975 marca un nuevo aporte en el estudio de estabilidad de las unidades hidrogeneradoras. A diferencia de Hovey y Chaudhry, que establecieron la frontera de estabilidad de una unidad hidrogeneradora aplicando los criterios de Routh-Hurwitz, Thorne y Hill [5]( pp. 1401-1409) presentaron un anlisis en el espacio de estado del modelo de una unidad hidrogeneradora, siendo la graficacin de los eigen-valores o valores propios el criterio empleado para establecer la condicin de estabilidad de una mquina hidrogeneradora. Este estudio de Thorne y Hill constituira el preludio de lo que sera la referencia obligada, en primera instancia, del trabajo que compendia los esfuerzos de las investigaciones para su aplicacin normalizada, presentada por Hagihara, Yokota, Goda e Isobe [6]( pp. 2294-2298) en el ao de 1979, enfocando el estudio de estabilidad absoluta aplicando tanto el criterio de Routh-Hurwitz como el criterio del lugar de races de Evans y la optimizacin de la respuesta transitoria.

Despus del hito presentado por Hagihara y compaa, se introdujeron mejoras tales como la que se observa en la investigacin presentada en 1984 por Murty y Hariharan [7]( pp. 360-367) en la cual se considera la impedancia de la tubera forzada de la turbina, para los casos de grandes distancias discurrida por el agua en la cual la onda viajera o golpe de ariete no puede ser despreciada, o la investigacin presentada por Sanathanan [8](pp. 14-17) en 1988, en la cual considera la dinmica del elemento final de regulacin a los estudios antes presentados, tal que la determinacin de los valores ptimos para un regulador PID se vuelven cada vez ms exigentes.

Para el ao de 1990, Wozniak [9]( pp. 417-421) presenta una metodologa diferente, respecto a la lnea investigativa-metodolgica que exhibieron sus predecesores, para determinar los ajustes ptimos del regulador PID de un gobernador de velocidad para una unidad hidrogeneradora.

Uno de los aportes ms resaltantes presentados en el ao 1992 y ratificado en el 2013, lo efectu el Grupo de Trabajo de la IEEE [10]( pp. 167-178), entre los propsitos de la investigacin estaba establecer los modelos dinmicos necesarios y suficientes para estudiar ciertas condiciones de fallas por diversas causas, ya sean del sistema elctrico como de la unidad hidrogeneradora. El estudio presentado revela que cuando la tubera forzada es relativamente corta, el modelo de primer orden, para modelar la turbina, es representativo de la dinmica del comportamiento y es suficiente para efectuar consideraciones de ajustes en la regulacin, no obstante se expresa que cuando la tubera forzada es relativamente larga o la turbina presenta, en el proceso de hidrogeneracin, oscilaciones de potencia, modelos de segundo u orden superior son necesarios, mayormente obtenidos empleando la expansin de Pad en la expresin de la tangente hiperblica del argumento en el domino de la frecuencia por la constante dinmica elstica de la tubera forzada.

Para el ao de 1993 y ms recientemente 2007, Vournas y compaa [11]( pp. 228-233) y Choo y compaa [12], [13], respectivamente, incorporan las herramientas computacionales para ratificar y mejorar algunos aspectos de los estudios antes mencionados.

Con la investigacin realizada se demuestra que la redundancia de parmetros del controlador neurodifuso, configurado de la forma PI+D, es posible mejorar el desempeo de un controlador PID LTI clsico, por lo que se puede inferir que cualquier ajuste en los modelos neurodifusos del hidrogenerador, entrenado con pruebas experimentales, podrn aproximar de mejor manera la realidad del comportamiento de la unidad hidrogeneradora.

 

Mtodo para la obtencin de un modelo neurodifuso a partir de la identificacin de modelos LTI y desarrollo de controlador PID para una unidad hidrogeneradora del tipo Francis

En esta seccin se aborda, de manera resumida, los aspectos tericos necesarios para identificar en tiempo continua un sistema, y en particular una unidad hidrogeneradora del tipo Francias. Con los parmetros producto de la identificacin se procede a la obtencin de un controlador del tipo PID.

Los modelos parametrizados, as como el controlador PID, permiten obtener los modelos neurodifuso, que en principio reproducen fielmente el comportamiento LTI de la unidad hidrogeneradora, pero que con entrenamiento podr reproducir comportamientos no lineales y otras particularidades restringidas al orden nominal reducido del modelo diferencial.

Se plantea la aplicacin del controlador PID y se genera una regla aplicable a turbinas Francis, la cual, para ser implementada empleando un controlador neurodifuso se estructura en una configuracin del tipo PI+D, esto para evitar golpes de control durante cambios de consigna.

 

Estadstica empleada para la identificacin de modelos y desempeo de sistemas

Para poder efectuar valoracin en muestras temporales, es necesario aplicar estadstica propia para datos secuenciales como las que se usan en la identificacin de sistemas, es por ello que se toma como referencia los criterios de Lennart Ljung para efectuar estos estudios comparativos [14]( pp. 170-196).

El principal indicador es el factor de correlacin cuadrtica multivariable, el cual se presenta con la minscula para indicar que se ha suprimido el nivel de tendencia medio de la seal a predecir, a la seal a predecir y a la prediccin misma, como se observa en la ecuacin (1).

,

(1)

La ecuacin (1) es equivalente al factor de correlacin cuadrtica multivariable presentada por Pearson [15], y aunque es recomendada en el campo de la identificacin de sistema, es manifiesto el hecho de no poder acotar el valor entre 0 y 1. La ecuacin (2) es la que se emplea en anlisis de regresin, no obstante, tanto la ecuacin (1) como la (2) provienen de una relacin rectangular, para el mejor de los casos, entre la prediccin, los datos predichos y el error, tal y como se observa en la ecuacin (3).

,

(2)

 

,

(3)

Otros criterios estadsticos empleados son, el error cuadrtico medio, y el error cuadrtico relativo porcentual, ecuaciones (4) y (5) respectivamente.

,

(4)

 

,

(5)

Ambos criterios resultan buenos indicadores, no obstante, la raz cuadrada de estos indicadores arroja ms informacin, es decir la raz del error cuadrtico medio, ecuacin (6), es equivalente a una desviacin estndar, y la raz del error cuadrtico medio relativo porcentual, ecuacin (7), es un indicador de dispersin porcentual cuya penalizacin es mayor a la penalizacin del coeficiente de dispersin de Pearson equivalente a la desviacin estndar sobre su valor medio expresado de manera porcentual, ecuacin (8).

,

(6)

 

,

(7)

 

,

(8)

Gradiente decreciente aplicado a la identificacin de sistemas dinmicos LTI y a sistemas neurodifusos

Trabajos con machine learning [16](p. 8) presentan como tema introductorio a la optimizacin la tcnica del descenso de la colina de Nealder-Mead [17](p. 2) [18](pp. 308-313), el cual no requiere clculos de derivadas, y depende de una figura geomtrica bsica que puede ser formada en una dimensin N y que presenta N+1 lados. La tcnica requiere la introduccin de un primer punto coordenado, de la figura geomtrica, generando de manera automtica los puntos restantes y produciendo un desplazamiento automtico de la figura geomtrica hasta alcanzar el valor mnimo.

An ms intuitiva, y no dependiente de derivada alguna, es la tcnica del ascenso de la colina, o tcnica del descenso del valle, la cual se encuentra referenciada en el manual prctico de algoritmos genticos [18]( pp. 1-17) [19](pp. 1-25). Con esta tcnica se pretende producir una variacin constante en una direccin hasta que no se consiga mejora en la funcin de costo a optimizar, lo que conlleva a producir la variacin de la variable siguiente, repitindose el ciclo hasta conseguir que se cumpla la condicin de error deseada.

 

Figure 1. Proceso de bsqueda de un mnimo en una superficie de costo.

(26

 

Para cualquiera de los casos (mtodo del gradiente decreciente o Newton-Raphson) bsicamente las tcnicas numricas parten de un punto aleatorio ubicado en la superficie de costo y se desplazan hasta encontrar un mnimo el cual se espera que sea el mnimo global. La Error! No se encuentra el origen de la referencia. ilustra este proceso.

Al igual que en el caso de los algoritmos de minimizacin de la funcin de costo que no requieren procesos de derivacin, es pertinente establecer un algoritmo para efectuar la optimizacin en algoritmos que s requieren de la derivada. Para este caso, el criterio para producir la variacin de los parmetros se encuentra acotada entre un paso mximo y un paso mnimo, siendo necesario determinar la primera derivada de la funcin de costo, para el caso del gradiente decreciente, y la segunda derivada para el caso Newton-Raphson.

Antes de plantear las expresiones dependientes de las derivadas de la funcin de costo, que permiten determinar el paso de ajuste de los parmetros del modelo candidato, se generalizar el proceso de obtencin de las derivadas de la funcin de costo, para cuando se asume que el modelo candidato representa un sistema LTI.

En principio se supone una funcin de transferencia de orden , tal y como se muestra en la ecuacin (9)

,

(9)

De la ecuacin (9) se observa que los parmetros del numerador de la funcin de transferencia pueden ser generalizados e indexados como se muestra en la ecuacin (10) y los del denominador como se muestra en (11).

,

(10)

 

,

(11)

Considerando la ecuacin (9) y la generalizacin de se tiene que:

,

(12)

Considerando la ecuacin (9) y la generalizacin de se tiene que:

,

(13)

Si se define a la funcin de costo J, como la integral del cuadrado del error, y se considera LTI al modelo candidato, se tiene que la funcin de costo es como se muestra en la ecuacin (14).

,

(14)

En la ecuacin (14) se tienen las variables registradas de entrada y salida del sistema a identificar siendo estas y respectivamente.

La determinacin de la primera y segunda derivada, de la funcin de costo J, respecto a los parmetros del numerador, se observan en las ecuaciones (15) y (16); y respecto a los parmetros del denominador se observan en las ecuaciones (17) y (18).

 

,

(15)

 

,

(16)

 

,

(17)

 

,

(18)

De manera general se puede afirmar que la determinacin de un parmetro de un sistema, para cuando se emplea el mtodo del gradiente decreciente es como se observa en la ecuacin (19), y para cuando se emplea el mtodo Newton-Raphson modificado es como se muestra en la ecuacin (20).

,

(19)

 

,

(20)

Si se plantea la condicin de que el modelo candidato es LTI, se tiene que los parmetros se ajustan a partir de las ecuaciones (21) y (22), para el caso del gradiente decreciente, y como se muestra en las ecuaciones (23) y (24) para el caso Newton-Raphson modificado.

(21)

 

(22)

 

(23)

 

(24)

Una vez que se tienen las expresiones que efectan la variacin en el sentido de minimizacin de la funcin de costo, y dado inicio al proceso de bsqueda automtica, resta esperar que se cumpla una condicin de parada, pudiendo ser esta un error cuadrtico medio mnimo, una cantidad especfica de ciclos o la imposibilidad de producir una variacin en los parmetros que conduzca a un mejor valor de la funcin de costo.

Cuando se emplean funciones neurodifusas se plantean relaciones que involucran al universo del discurso de cada una de las variables, sus funciones de pertenencia, las reglas que se generan bajo el concepto de las T-normas [20](pp. 1-16) y los pesos asignados o singletones bajo el concepto Takagi-Sugeno-Kang de orden cero [1]( pp. 577-578), las ecuaciones (25) y (26) resumen el concepto de inferencia borrosa y el entrenamiento empleando el gradiente decreciente para cada uno de los singletones. En las ecuaciones planteadas representa la posibilidad de una o ms variables.

,

(25)

 

,

(26)

Cuando se tiene un universo del discurso, o lo que es igual, una variable, las ecuaciones (25) y (26) se expresan como se muestra en las ecuaciones (27) y (28), siempre y cuando se cumpla con la regla del solapamiento [1](p. 24)

,

(27)

 

,

(28)

En las ecuaciones (27) y (28), representa las funciones de pertenencia, que para el caso planteado son un total de . Sin embargo, en caso de ser dos variables, tales como y el caso depende de dos universos del discurso y de funciones de pertenencia y por lo que su tratamiento depende tambin de la forma del indexado de las funciones de pertenencia mencionadas. Si se asocia un indexador para , y un indexador para , entonces se tiene que el i-simo se expresa como se muestra en la ecuacin (29) y la funcin de prediccin difusa es como se muestra en la ecuacin (30), siendo la funcin de entrenamiento para los pesos o singletones la mostrada en la ecuacin (31).

,

(29)

 

,

(30)

 

,

(31)

En caso de ser tres variables, tales como , y el caso depende de tres universos del discurso y de funciones de pertenencia , y por lo que su tratamiento depende tambin de la forma del indexado de las funciones de pertenencia mencionadas. Si se asocia un indexador para , un indexador para y un indexador para , entonces se tiene que el i-simo se expresa como se muestra en la ecuacin (32) y la funcin de prediccin difusa es como se muestra en la ecuacin (33), siendo la funcin de entrenamiento para los pesos o singletones la mostrada en la ecuacin (34).

,

(32)

 

,

(33)

 

(34)

Cuando se entrena un sistema neurodifuso, es necesario considerar cuales reglas se activan y cuales no, lo que origina el concepto de clusterizacin. La clusterizacin permite desarrollar un sistema de aprendizaje adaptativa para el algoritmo el cual debe determinar cuales son las reglas activadas para as adaptar el algoritmo y entrenar slo los pesos o singletones de estas reglas. La Error! No se encuentra el origen de la referencia. ilustra el caso, en (a) si no se activan ninguna regla, el algoritmo no debe entrenar ningn peso, por el contrario, en (b) slo debern entrenarse los pesos o singletones de las reglas activadas, de lo contrario se producir un error numrico.

 

Figure 2. Universos del discurso para dos variables, con funciones de pertenencia y (a) ninguna regla activada (b) excitacin de algunas reglas durante el desempeo del sistema.

 

Grfico

Descripcin generada automticamente

Grfico, Grfico de burbujas

Descripcin generada automticamente

 

 

(a)

(b)

 

 

Parametrizacin de la unidad hidrogeneradora

Aplicando el mtodo del gradiente decreciente a una fusin de costo de la integral del cuadrado del error, y considerando valores iniciales cercanos en funcin de estndares, se procede a realizar los ajustes de los parmetros, considerando el entrenamiento dinmico presentado en la Error! No se encuentra el origen de la referencia..

 

Figure 2. Parametrizacin del servomotor, turbina y generador empleando un registro y el mtodo del gradiente decreciente.

 

 

La convergencia numrica hacia un mnimo global depender del punto de partida o condiciones iniciales de los parmetros y de la seleccin de y . es un factor de aprendizaje, siendo su valor mucho mayor a la unidad para cuando se emplea la aproximacin del diferencial de la funcin de costo y, normalmente menor a la unidad para cuando se emplea una aproximacin numrica de la derivada de la funcin de costo. es el diferencial del parmetro al momento de efectuar el estudio numrico aproximado tanto para el diferencial o la derivada de la funcin de costo.

Cuantos ms parmetros en el modelo, la cantidad de mnimos locales se incrementan, razn por la cual resulta un trabajo de paciencia seleccionar el punto de partida los cuales se seleccionan por ensayo y error.

Con bases en una muestra del comportamiento de la unidad hidrogeneradora de Agoyn, especficamente de potencia elctrica como consecuencia de una variacin del controlador a la entrada del servomotor, se tiene mediante procesos de optimizacin inteligente para la bsqueda de parmetros usando el descenso del gradiente de la funcin de costo, los parmetros de las funciones de transferencia de los modelos del servomotor, turbina y generador (modelos LTI). La bondad del ajuste, con base en los parmetros encontrados, se valoran empleando los estadsticos e indicadores tales como RECMRP o raz del error cuadrtico medio relativo porcentual y el FCCM o factor de correlacin cuadrtico multivariable, el primero expresa la desviacin porcentual media que se puede esperar en la reproduccin del fenmeno estudiado, de manera global, y la segunda expresa la bondad de ajuste con bases a los criterios de Person como estndar en un proceso de identificacin de sistemas.

La Error! No se encuentra el origen de la referencia. muestra los diagramas de bloques de los modelos diferenciales del comportamiento de la turbina, el generador y el servomotor de la unidad hidrogeneradora.

 

Figure 3. Diagramas de bloques de los modelos diferenciales de (a) la turbina, (b) el generador y (c) el servomotor.

 

(a)

(b)

(c)

Modelo neurodifuso del servomotor o paletas directrices

El modelo se obtiene en tres etapas, la Error! No se encuentra el origen de la referencia. es el planteamiento de la estructura difusa (a) y la del modelo diferencial neurodifuso del servomotor (b), la Error! No se encuentra el origen de la referencia. en (a) se plantea el universo del discurso y sus funciones de pertenencia el cual se parametriza con la reproduccin de la dinmica del modelo identificado del servomotor presentado en (b), la Error! No se encuentra el origen de la referencia. presenta las dos etapas para identificar y ajustar el modelo diferencial neurodifuso, en (a) se ajusta el sistema de inferencia difuso como un caracterizador, crendose as las condiciones iniciales para en (b) ajustarse los singletones y poder reproducir el sistema dinmico LTI del servomotor.

 

Figure 5. (a) Estructura del sistema de inferencia difuso para predecir la derivada segunda de la posicin del servomotor (b) Modelo diferencial neurodifuso del servomotor.

 

 

 

(a)

(b)

 

 

 

 

Figure 6. (a) Funciones de pertenencia del servomotor, (b) modelo LTI para estimar el universo del discurso del servomotor.

 

 

 

(a)

(b)

 

 

 

 

 

 

Figure 7. (a) Inicializacin y (b) ajuste dinmico, de singletones del modelo diferencial neurodifuso del servomotor.

 

 

 

(a)

(b)

 

 

 

Modelo neurodifuso de la turbina

El modelo se obtiene en tres etapas, la Figure 1 es el planteamiento de la estructura difusa (a) y (b) y del modelo diferencial neurodifuso de la turbina (c), la Figure 2 en (a) se plantea el universo del discurso y sus funciones de pertenencia el cual se parametriza con la reproduccin de la dinmica del modelo identificado de la turbina presentado en (b), la Figure 3 presenta las dos etapas para identificar y ajustar el modelo diferencial neurodifuso, en (a) se ajusta el sistema de inferencia difuso como un caracterizador, crendose as las condiciones iniciales para en (b) ajustarse los singletones y poder reproducir el sistema dinmico LTI de la turbina.

 

Figure 1. (a) Estructura del sistema de inferencia difuso para predecir la derivada primera del estado de la potencia mecnica (b) Estructura del sistema de inferencia difuso para predecir la potencia mecnica y c) Modelo diferencial difuso de la turbina.

 

 

 

(a)

(b)

(c)

 

 

 

 

Figure 2. (a) Funciones de pertenencia del modelo b) modelo LTI para estimar el universo del discurso de la turbina.

 

 

 

(a)

(b)

 

 

 

Figure 3. a) Inicializacin y b) ajuste dinmico, de singletones del modelo diferencial neurodifuso de la turbina.

 

 

 

(a)

(b)

 

 

Modelo neurodifuso del generador

El modelo se obtiene en tres etapas, la Figure 4 es el planteamiento de la estructura difusa (a) y la del modelo diferencial neurodifuso del generador (b), la Figure 5 en (a) se plantea el universo del discurso y sus funciones de pertenencia el cual se parametriza con la reproduccin de la dinmica del modelo identificado del generador presentado en (b), la Figure 6 presenta las dos etapas para identificar y ajustar el modelo diferencial neurodifuso, en (a) se ajusta el sistema de inferencia difuso como un caracterizador, crendose as las condiciones iniciales para en (b) ajustarse los singletones y poder reproducir el sistema dinmico LTI del generador.

 

Figure 4. (a) Estructura del sistema de inferencia difuso para predecir la derivada primera de la potencia elctrica (b) Modelo diferencial neurodifuso del generador.

 

 

 

 

(a)

(b)

 

 

 

Figure 5. (a) Funciones de pertenencia del modelo del generador (b) modelo LTI para estimar el universo del discurso del generador.

 

 

 

(a)

(b)

 

 

 

Figure 6. (a) Inicializacin y (b) ajuste dinmico, de singletones del modelo diferencial neurodifuso del generador.

 

 

 

(a)

(b)

 

 

 

Especificacin de desempeo y parametrizacin del controlador PID LTI

Cuando se parametriza el controlador PID LTI se considera dos posibles modos de operacin de la unidad, en red aislada y para cuando la unidad se encuentra sincronizada a una barra de energa infinita. En este caso se considera que la unidad se encuentra sincronizada a una barra de energa infinita y que la capacidad de compensacin del controlador debe ser lo suficientemente rpida. Bajo la consideracin de pequea seal del sistema, se puede considerar lineal en su desempeo, y son los parmetros del modelo de la unidad los que indican la factibilidad del cumplimento del desempeo especificado. La observacin del desempeo del sistema durante la compensacin de la potencia, o la velocidad, segn el caso, indicar que se puede esperar de la unidad hidrogeneradora. En este caso se desea especificar un tiempo de subida, en segundos, con un sobrepaso porcentual menor o igual al diez por ciento, para el cumplimiento de una consigna de potencia en forma de paso escaln.

El criterio para especificar el tiempo de subida ha sido fundamentado en la propiedad de escalaridad de un sistema diferencial lineal e invariante en el tiempo. Es decir, la limitante de la linealidad ms fuerte es originada por el servomotor cuya velocidad de respuesta es programada, ya sea mecnica o hidrulicamente, para no sobrepasar una velocidad de la unidad en tantos segundos, como se observa en la ecuacin (35). En la ecuacin (35) se observa la relacin del tiempo de subida del servomotor o paleta directriz equivalente a cuatro veces el tiempo de subida de un sistema dinmico de segundo orden, esta relacin se interpreta como la linealidad garantizada para cuando el servomotor o paleta directriz vara por debajo de un veinticinco por ciento su posicin, con lo cual se satisface la condicin de linealidad por debajo del diez por ciento, de manera segura.

,

(35)

El criterio para especificar el sobrepaso, obedece ms al momento previo de la sincronizacin de la unidad hidrogeneradora. Contado en detalle sucede que normalmente la unidad sobrepasada el noventa y cinco por ciento de la velocidad nominal da orden de excitacin de campo y prepara el sincronoscpio para la sincronizacin de la unidad hidrogeneradora y posterior cierre de interruptor de potencia. El proceso de sincronizacin controla, normalmente, amplitud y frecuecia de tensin terminal de la unidad hidrogeneradora, dejando al azar la fase. Para que las fases puedan coincidir, es necesario cierto sobrepaso y cierta oscilacin, por lo tanto, considerando el principio de escalaridad, se especifica en diez por ciento, sin embargo, ante el ltimo paso de consigna, el cual es un delta, el sobrepaso suele estar por debajo del uno por ciento. Es importante resaltar que este proceso de sincronizacin normalmente debe cumplirse en un lapso de un minuto, razn por la cual el sobrepaso y las oscilaciones son necesarias, por lo que cuanto ms pequeo el tiempo de subida ms alta es la frecuencia amortiguada de la oscilacin, como se observa en la ecuacin (37).

Con la especificacin del tiempo de subida y el sobrepaso experimentado en el cumplimiento de la consigna del tipo paso escaln, se especifica el polo deseado para el desempeo.

Con la especificacin del sobrepaso se determina la constante de amortiguamiento del sistema, como se observa en la ecuacin

,

(36)

Conocido el valor de la constante de amortiguamiento y el tiempo de subida deseado, se determina la frecuencia amortiguada del sistema, ecuacin (37)

,

(37)

Con ayuda de la constante de amortiguamiento y la frecuencia amortigada se determina el inverso de la constante de tiempo del sistema deseado

,

(38)

Finalmente se tiene el polo que rige el desempeo deseado tomando en consideracin la reaccin de un sistema de segundo orden subamortiguado ante una excitacin del tipo paso escaln, como se muestra en la ecuacin (39).

,

(39)

Siendo la frecuencia natural expresada por la ecuacin (40)

,

(40)

La fase del polo que rige el desempeo, se especifica en el segundo cuadrante y se expresa como se muestra en la ecuacin (41)

,

(41)

El efecto del polo asignado en cada uno de los modelos que integran el modelo de la unidad hidrogeneradora debe ser evaluado.

La evaluacin del efecto del polo en el servomotor o paletas directrices, fue obtenido con las ecuaciones de la (42) a la (46).

,

(42)

 

,

(43)

 

,

(44)

 

,

(45)

 

(46)

 

La evaluacin del efecto del polo en la turbina, fue obtenido con las ecuaciones de la (47) a la (49).

 

,

(47)

 

,

(48)

 

,

(49)

 

La evaluacin del efecto del polo en el generador, fue obtenido con las ecuaciones de la (50) a la (52).

 

,

(50)

 

,

(51)

 

,

(52)

Con las evaluaciones del efecto del polo en los diferentes modelos que integran el modelo de la unidad hidrogeneradora, se verifica con ayuda de las ecuaciones (53) y (54) la factibilidad de la parametrizacin del controlador PID LTI

,

(53)

 

,

(54)

 

Si no se satisface la desigualdad presentada en (54), es necesario especificar otras condiciones de desempeo tal que el controlador PID LTI se realizable.

Satisfecha la condicin (54) se procede a parametrizar el controlador PID con ayuda de las ecuaciones (55) hasta la (59).

,

(55)

 

,

(56)

 

,

(57)

 

,

(58)

 

,

(59)

Este procedimiento es vlido slo para turbinas de hidrogeneradoras cuyo efecto de fase no mnima, presente en la turbina, hace la diferencia al momento de efectuar control y es la que se ha desarrollado con el propsito de satisfacer las exigencias de este tipo de unidades generadoras de electricidad.

 

Parametrizacin del controlador PID neurodifuso

El modelo se obtiene en tres etapas, la Figure 7 es el planteamiento de la estructura difusa (a) y la del modelo diferencial neurodifuso del contralador (b), la Figure 8 en (a) se plantea el universo del discurso y sus funciones de pertenencia el cual se parametriza con la reproduccin de la dinmica del modelo identificado de la unidad hidrogeneradora presentado en (b), la Figure 9 presenta las dos etapas para identificar y ajustar el modelo diferencial neurodifuso, en (a) se ajusta el sistema de inferencia difuso como un caracterizador, crendose as las condiciones iniciales para en (b) ajustarse los singletones y poder reproducir el sistema dinmico LTI de la unidad hidrogeneradora.

 

Figure 7. (a) Estructura del sistema de inferencia difuso para predecir la salida del control PID (b) Modelo diferencial neurodifuso del controlador y de la unidad hidrogeneradora.

 

 

 

 

(a)

(b)

 

 

 

 

Figure 8. (a) Funciones de pertenencia del modelo del generador (b) modelo LTI para estimar el universo del discurso de la unidad hidrogeneradora.

 

 

 

(a)

(b)

 

 

 

Figure 9. (a) Inicializacin y (b) ajuste dinmico, de singletones del modelo diferencial neurodifuso del generador.

 

 

 

(a)

(b)

 

 

Results

This section may be divided by subheadings. It should provide a concise and precise description of the experimental results, their interpretation, as well as the experimental conclusions that can be drawn.

Desarrollo de modelo diferencial LTI para el servomotor, la turbina y el generador

Partiendo de un registro de 60 segundos de la potencia elctrica para cuando la posicin del servomotor vara en un 10%, se procede a realizar la identificacin de parmetros de la unidad hidrogeneradora. Los valores iniciales y finales del entrenamiento se presentan en la Error! No se encuentra el origen de la referencia., siendo la raz del error cuadrtico medio relativo porcentual de la identificacin de 0.0518%, con un factor de correlacin cudratico multivariable de 0.9999.

 

Table 1. Parmetros de identificados del modelo de la unidad hidrogeneradora.

 

 

Valor Inicial

Valor Final

RECMRP Inicial

RECMRP Final

Tw

1.353

1.229979

149.7461

0.0518

Kg

0.9

0.939998

FCCM

Tg

0.165

0.150546

Ksm

6.2953

5.739601

0.999999999857019

Tsm

0.1375

0.125208

 

La Figure 10 muestra la evolucin del aprendizaje de los parmetros de la unidad hidrogeneradora.

 

Figure 10. Evolucin de los parmetros de una unidad de hidrogeneradora de la Central Agoyn durante el proceso de identificacin.

En la Figure 11 (a) se muestra la evolucin de la funcin de costo de la raz del error cuadrtico medio relativo porcentual, y en (b) en trazo verde se muestra la orden del controlador PID, siendo el trazo rojo la seal de potencia de la unidad hidrogeneradora y el trazo azul, la prediccin del modelo ajustado.

 

Figure 11. (a) Evolucin de la funcin de costo del ECMRP de la identificacin de la unidad hidrogeneradora Agoyn, (b) Registro de la seal de control, la potencia elctrica y su prediccin.

 

 

 

 

 

(a)

(b)

 

 

Resultado de la parametrizacin del modelo neurodifuso de la turbina

Con el modelo LTI de la turbina se procede a determinar el universo del discurso de las variables de entrada de los sistemas neurodifusos, como se muestra en la Figure 12.

 

Figure 12. Funciones de pertenencia del universo del discurso del estado (a) x1, (b) de la posicin WG, (c) de la derivada del estado Dx1.

 

 

 

(a)

(b)

(c)

 

 

Una vez inicializado los sistemas neurodifusos de la turbina, se procede a su entrenamiento para ajustar los pesos. En la Figure 13 (a) se muestra la evolucin de la funcin de costo de la raz cuadrada del error cuadrtico medio relativo porcentual, siendo (b) y (c) la evolucin de los singletones de ambos sistemas neurodifuso.

 

Figure 13. (a) Evolucin de la funcin de costo RECMRP en el proceso de ajuste de los singletones para predecir el comportamiento de la potencia mecnica de la turbina. Evolucin del ajuste de pesos de los Singletones del modelo diferencial neurodifuso de la turbina, (b) fusificacin de entrada, (c) fusificacin de salida

 

 

 

(a)

(b)

(c)

 

 

En la Table 1 se presentan los valores de los singletones del sistema neurodifuso de entrada de la turbina, y en la Table 2 se presentan los valores de los singletones del sistema neurodifuso de salida de la turbina.

 

 

Table 1. Singletones del sistema de inferencia difusa de la turbina, fusificacin de entrada.

 

 

 

UNIVERSO DEL DISCURSO DE WG

 

 

UNIVERSO DEL DISCURSO DE X1

8.88178419700125e-16

6.5041711145384

13.0083422290768

-6.5041711145384

0

6.5041711145384

-13.0083422290768

-6.5041711145384

-8.88178419700125e-16

 

 

Table 2. Singletones del sistema de inferencia difusa de la turbina, fusificacin de salida.

 

 

 

UNIVERSO DEL DISCURSO DE DX1

 

 

UNIVERSO DEL DISCURSO DE X1

0.919919761716024

-4

-8.91991976171602

4.91991976171602

0

-4.91991976171602

8.91991976171602

4

-0.919919761716024

La Figure 14 muestra como el modelo neurodifuso de la turbina ajusta al modelo LTI. Siendo los datos estadsticos del entrenamiento presentados en la Table 3.

 

Figure 14. Comparacin entre un modelo LTI y un modelo neurodifuso de la prediccin de la potencia mecnica de la turbina.

 

 

Table 3. Indicadores Estadsticos de Ajustes del Modelo Neurodifuso de la turbina.

Raz del Error Cuadrtico Medio Relativo Porcentual Inicial

263.564445548622

Raz del Error Cuadrtico Medio Relativo Porcentual Final

1.13562872273234e-05

 

Factor de Correlacin Cuadrtico Multivariable

1

 

 

 

Resultado de la parametrizacin del modelo neurodifuso del generador

Con el modelo LTI del generador se procede a determinar el universo del discurso de las variables de entrada del sistema neurodifuso, como se muestra en la Figure 15.

 

Figure 15. Funciones de pertenencia del universo del discurso del estado (a) x1, (b) de la potencia elctrica del generador.

(a)

(b)

 

Una vez inicializado el sistema neurodifuso del generador, se procede a su entrenamiento para ajustar los pesos. En la Figure 16 (a) se muestra la evolucin de la funcin de costo de la raz cuadrada del error cuadrtico medio relativo porcentual, siendo (b) la evolucin de los singletones del sistema neurodifuso.

(a)

(b)

Figure 16. (a) Evolucin de la funcin de costo RECMRP en el proceso de ajuste de los singletones para predecir el comportamiento de la potencia elctrica del generador. (b) Evolucin del ajuste de pesos de los Singletones del modelo diferencial neurodifuso del generador.

 

En la Table 4 se presentan los valores de los singletones del sistema neurodifuso del generador.

 

 

Table 4. Singletones del sistema de inferencia difusa del generador.

 

 

 

UNIVERSO DEL DISCURSO DE Pm

 

 

UNIVERSO DEL DISCURSO DE Pe

0.796005186669712

13.2868546299813

25.7777040732929

-12.4908494433116

0

12.4908494433116

-25.7777040732929

-13.2868546299813

-0.796005186669712

 

La Figure 17 muestra como el modelo neurodifuso del generador ajusta al modelo LTI. Siendo los datos estadsticos del entrenamiento presentados en la Table 5.

Figure 17. Comparacin entre un modelo LTI y un modelo neurodifuso durante la prediccin de la potencia elctrica del generador.

 

 

 

Table 5. Indicadores Estadsticos de Ajustes del Modelo Neurodifuso de la turbina.

Raz del Error Cuadrtico Medio Relativo Porcentual Inicial

35.7123029946116

Raz del Error Cuadrtico Medio Relativo Porcentual Final

0.0126149207665752

Factor de Correlacin Cuadrtico Multivariable

1

 

 

Resultado de la parametrizacin del modelo neurodifuso del servomotor

Con el modelo LTI del servomotor se procede a determinar el universo del discurso de las variables del sistema neurodifusos, como se muestra en la Figure 18.

 

Figure 18. Funciones de pertenencia del universo del discurso del estado (a) x1, (b) de la posicin WG, (c) de la derivada del estado Dx1.

 

 

 

(a)

(b)

(c)

 

 

Una vez inicializado el sistema neurodifuso del servomotor, se procede a su entrenamiento para ajustar los pesos. En la Figure 19 (a) se muestra la evolucin de la funcin de costo de la raz cuadrada del error cuadrtico medio relativo porcentual, siendo (b) la evolucin de los singletones del sistema neurodifuso.

 

Figure 19. (a) Evolucin de la funcin de costo RECMRP en el proceso de ajuste de los singletones para predecir el comportamiento de la posicin del servomotor o paletas directrices. (b) Evolucin del ajuste de pesos de los Singletones del modelo diferencial neurodifuso del servomotor o paletas directrices.

(a)

(b)

 

 

En las Table 6 a la Table 8 se presentan los valores de los singletones del sistema neurodifuso del servomotor o paletas directrices.

 

 

Table 6. Singletones del sistema de inferencia difusa del servomotor o paletas directrices.

 

UNIVERSO DEL DISCURSO DE Ypid

UNIVERSO DEL DISCURSO DE Sm

UNIVERSO DEL DISCURSO DE DSm

79.8730527195774

-378.528372456472

-836.929797632521

-5.6843418860808e-14

-458.401425176049

-916.802850352098

-79.8730527195775

-538.274477895626

-996.675903071676

 

Enlaces de Referencia

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