Revista Polo del Conocimiento


Polo del Conocimiento

 

 

Evaluacin Comparativa entre los Mtodos de Flujos de Potencia

Gauss Seidel y Newton Raphson

 

Comparative Evaluation between Power Flow Methods

Gauss Seidel and Newton Raphson

 

Avaliao Comparativa entre Mtodos de Fluxo de Potncia

Gauss Seidel e Newton Raphson

 

 

Franklin Carlos Reina-Perez I
franklin.reina.perez@utelvt.edu.ec
 https://orcid.org/0000-0002-3234-4583
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Correspondencia: [email protected]

 

 

Ciencias Tcnicas y Aplicadas

Artculo de Investigacin

* Recibido: 23 de marzo de 2022 *Aceptado: 12 de mayo de 2022 * Publicado: 10 de junio de 2022

 

  1. Magster en Gestin Ambiental, Ingeniero Elctrico, Universidad Tcnica Luis Vargas Torres (UTELVT), Esmeradas, Ecuador.

Resumen

El presente artculo presenta una estructura fcil de comprender de dos herramientas matemticas elementales como son los mtodos Gauss Seidel y Newton Raphson, utilizadas en ciencias elctricas para la evaluacin de estado estable de los sistemas elctricos de potencia. Se revisaron y analizaron los fundamentos tcnicos y acadmicos de ambos mtodos y se procedi a efectuar una simulacin en dos sistemas modelos de 4 y 9 barras, en cuyos resultados, se puede apreciar que ambos mtodos son igual de confiables; no obstante, el mtodo de Newton Rapshon presenta una menor cantidad de iteraciones para converger a la respuesta, esto indica su mayor eficiencia debido a sus caractersticas cuadradas de convergencia.

Palabras Clave: Flujos de Potencia; iteracin; linealizacin; convergencia.

 

Abstract

This article presents an easy-to-understand structure of two elementary mathematical tools such as the Gauss Seidel and Newton Raphson methods, used in electrical sciences for the evaluation of the steady state of electrical power systems. The technical and academic foundations of both methods were reviewed and analyzed and a simulation was carried out in two model systems of 4 and 9 bars, in whose results, it can be seen that both methods are equally reliable; however, the Newton Rapshon method presents a smaller number of iterations to converge to the answer, this indicates its greater efficiency due to its square convergence characteristics.

Keywords: Power flows; iteration; linearization; convergence.

 

Resumo

Este artigo apresenta uma estrutura de fcil compreenso de duas ferramentas matemticas elementares como os mtodos de Gauss Seidel e Newton Raphson, utilizados em cincias eltricas para a avaliao do estado estacionrio de sistemas eltricos de potncia. Foram revistos e analisados ​​os fundamentos tcnicos e acadmicos de ambos os mtodos e foi realizada uma simulao em dois sistemas modelo de 4 e 9 barras, em cujos resultados se verifica que ambos os mtodos so igualmente fiveis; no entanto, o mtodo Newton Rapshon apresenta menos iteraes para convergir para a resposta, o que indica sua maior eficincia devido s suas caractersticas de convergncia quadrada.

Palavras-chave: Fluxos de Energia; iterao; linearizao; convergncia.

Introduccin

Los sistemas elctricos de potencia (SEP), se encuentran en constante expansin y modificacin en su topologa y arquitectura de red, debido a las permanentes mejoras y modificaciones a las que se deben someter con la finalidad de garantizar confiabilidad operacional. Por ello es necesario, conforme lo establece la IEEE-399-1997 en las prcticas recomendadas para anlisis de sistemas de energa industriales y comerciales, efectuar estudios del comportamiento del sistema en estado estable o tambin denominado estacionario, conocidos como flujos de potencia o flujos de carga.

El flujo de potencia o flujo de carga, es la denominacin que se da a la solucin de estado estacionario de un SEP, bajo ciertas condiciones preestablecidas de generacin, carga y topologa de la red[1]. El objetivo es encontrar los valores de mdulo y ngulo de voltajes nodales en el sistema, as como el flujo de potencia y las prdidas de potencia en la red [2]. El planteamiento analtico del flujo de potencia requiere de cuatro variables en cada barra o nodo del sistema. Los sistemas de ecuaciones que resultan del modelamiento matemtico de un SEP, resultan ser no lineales y esa no linealidad, se debe a dos factores especialmente; en primer lugar, la relacin de la potencia con el cuadrado de los voltajes y la segunda razn es, la presencia de funciones trigonomtricas en los ngulos de voltajes [3]. Por lo anteriormente expuesto es necesario utilizar mtodos numricos iterativos que permitan resolver los sistemas de ecuaciones no lineales; los mtodos de Gauss Seidel y Newton Rapshon son los mtodos ms utilizados, el primero en el mbito acadmico y el segundo ms utilizado en el escenario prctico.

Debemos considerar que, para el estudio convencional de los sistemas elctricos, el especialista siempre considera que la red se encuentra operando en forma balanceada, esta suposicin podra ser vlida generalmente para sistemas de transmisin y subtransmisin. En las redes elctricas de distribucin esta suposicin no se cumple por lo general debido a que, este tipo de sistemas poseen parmetros de elementos de red y elementos de cargas desbalanceadas y ello implica utilizar metodologas de solucin que incluyan estas variables y efectos [4].

Dentro de las principales contribuciones que presenta este artculo, son la sinterizacin de los fundamentos tericos de los mtodos antes citados; reafirmacin de los argumentos y fundamentos para la modelacin matemtica del SEP aplicados a sistemas transmisin de energa elctrica.

 

Materiales y Mtodos

Los sistemas elctricos de potencia poseen caractersticas dinmicas, es decir, se encuentran en constante expansin y modificacin en su topologa y arquitectura de red, debido a las permanentes mejoras y modificaciones a las que se deben someter con la finalidad de garantizar confiabilidad operacional. Por ello es necesario conforme lo establecen las prcticas recomendadas en normativa IEEE-399-1997, para anlisis de sistemas de energa industriales y comerciales, efectuar estudios del comportamiento del sistema elctrico en estado estable o tambin denominado estacionario, conocidos como flujos de potencia o flujos de carga.

Para el proceso de modelacin del sistema elctrico, es muy importante considerar que tenemos tres tipos de barras o nodos.

En primer lugar, tenemos la denominada barra slack, barra oscilante o barra de referencia. Existe solo una de este tipo al plantear un flujo de potencia. Su magnitud y ngulo de fase del voltaje son conocidos, pero su potencia inyectada activa y reactiva son desconocidas. En esta barra se establece el balance de potencia final en el sistema, por ello su potencia inyectada es una variable desconocida; adems el ngulo del voltaje de esta barra fija un ngulo en el SEP, es decir ser su angulo de referencia. La barra slack tpicamente posee la fuente de generacin ms grande en el SEP, o en su defecto, uno que logre balancear la potencia final[5].

Las barras o nodos de generacin, son conocidos como barras tipo P-V o nodos de voltaje controlado. Se conoce la magnitud de potencia activa y mdulo del voltaje en barras, esto es debido a que la potencia activa puede ser controlada a travs del sistema de regulacin de velocidad del generador y la magnitud del voltaje se regula a travs del sistema de excitacin del generador. Cuando se mantiene la magnitud de voltaje constante en las terminales la potencia reactiva es un variable que se ajusta al valor requerido por el sistema. Las incgnitas son el ngulo del voltaje y la potencia reactiva total inyectada a la barra (Q, θ)[6].

Finalmente tenemos las barras de carga denominadas como PQ y en las cuales se conocen las magnitudes de potencia activa y reactiva de demanda y se desconocen los valores de mdulo y ngulo de voltaje.

Se utilizaron para la presente investigacin, los modelos de prueba estandarizados de sistemas elctricos de potencia de 4 barras tomado del libro de ANLISIS DE SISTEMAS ELCTRICOS DE POTENCIA de las pginas pp. 337-338 cuyos autores son John Grainger, Jr., William Stevenson y un modelo de prueba IEEE de 9 barras, sobre los cuales se aplicaron los mtodos de solucin iterativo para flujos de potencia de Gauss Seidel y Newton Raphson para establecer un anlisis comparativo de sus resultados utilizando, la herramienta de clculo libre y gratuita MATPOWER.

 

Mtodo Gauss-Seidel

El mtodo iterativo de Gauss-Seidel, se basa en un proceso de aproximaciones sucesivas para resolver sistemas de ecuaciones lineales compatibles determinados y requiere de la verificacin de un criterio de convergencia comnmente conocido como diagonal pesada[7]. Dada las caractersticas del mtodo, puede ser aplicado para resolver tanto sistemas de ecuaciones lineales como no lineales. El mtodo Gauss Seidel para flujos de potencia, es bastante robusto y confiable que brinda convergencia a sistemas de energa extremadamente complejos. Se requiere la matriz de admitancias de la barra del sistema y basa su aplicacin en la ley de corriente de Kirchhoff [8]. En ocasiones este mtodo no converge en algunos casos y en otros, el tiempo de computacin resulta elevado ya que su velocidad de convergencia es baja y fuertemente dependiente del factor de aceleracin elegido [9].

Bsicamente Considerando que la ley de ohm establece que:

"V=I*Z " (1)

 

Y tomando en cuenta que la relacin impedancia y admitancia resulta:

 

"Z=1/Y " (2)

 

Podemos sustituir 2 e 1 y obtenemos:

"V=I " "1" /"Y" (3)

 

"I=V Y" (4)

Sobre lo cual podemos escribir que matricialmente las relaciones se expresan como:

 

(5)

 

Para un sistema de 4 barras para el SEP, podemos escribir el sistema de la siguiente forma:

(6)

El sistema de ecuacin matricial estara estructurado de la siguiente manera:

(7)

Considerando que potencia aparente es igual a:

(8)

adems:

(9)

Despejando I de (8) e igualando a (9), tenemos:

(10)

Si multiplicamos la matriz columna de voltaje por la matriz simtrica cuadrada de admitancia de (7) tenemos:

(11)

(12)

(13)

 

Despejando V_2 en (11) tenemos:

(14)

 

 

Considerando I de (10) como I_2, podemos escribir:

(15)

Reemplazando (15) en (14) tenemos:

(16)

De la misma manera para "V" _"3" y "V" _"4"

(16)

(17)

 

Para la potencia activa inyectada en la barra oscilante o slack tendramos:

(18)

Para la potencia reactiva inyectada en la barra oscilante o slack tendramos:

(19)

 

Mtodo Newton Raphson

Desde el punto de vista matemtico, el mtodo de Newton Raphson es un procedimiento algortmico que permite hallar las races de funciones, conocido un valor numrico cercano a la raz que en general que ofrece una muy rpida convergencia; es bastante til para el clculo de races cuadradas y de mayor grado [10]. En la actualidad este es el mtodo iterativo ms eficiente que se utiliza para el anlisis de flujos de potencia en redes elctricas, con alto nivel de convergencia confiable [11]. La linealizacin de las ecuaciones se basa en la expansin de las funciones no lineales en series de Taylor alrededor del punto de solucin. La matriz Jacobiana es altamente dispersa y se adapta muy especialmente a la solucin de problemas de flujo de potencia en sistema elctricos, resultado de los mtodos de sustitucin inversa y triangulacin ordenada resultando en la convergencia rpida y eficiente a la solucin de flujo de potencia del SEP [12].

Considerando la potencia neta en una barra "i":

 

(20)

 

La potencia activa estara establecida como sigue:

(21)

(22)

 

La potencia reactiva

(23)

La potencia activa:

(24)

La potencia reactiva:

(25)

Potencia residual activa y reactiva:

(26)
(31)

(27)

El Sistema matricial considerando la matriz jacobiana se escribira de la siguiente manera:

(28)

 

De forma ampliada las matrices columna de potencias, ngulos y magnitud de voltaje junto con la matriz jacobiana se escribira:

(30)

 

Obteniendo la inversa de la matriz jacobiana de (29), tenemos:

(30)

Para quedar de forma ampliada:

(31)

 

Modelos de prueba

Los modelos de prueba que se utilizaron en la presente investigacin corresponde a los establecidos por la IEEE con esquemas de 4 y 9 barras las cuales se describen a continuacin.

 

Datos de sistema 4 barras

 

Figura 1: Diagrama unifilar sistema de 4 barras

 

 

 

Tabla 1: Datos de Impedancia del sistema

fbus

tbus

r

x

b

rateA

rateB

rateC

status

angmin

angmax

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

0.01008

0.0504

0.1025

250

250

250

1

-360

360;

1

3

0.00744

0.0372

0.0775

250

250

250

1

-360

360;

2

4

0.00744

0.0372

0.0775

250

250

250

1

-360

360;

3

4

0.01272

0.0636

0.1275

250

250

250

1

-360

360;

 

Tabla 2: Datos de Generacin del Sistema

DATOS DE GENERACIN

bus

Pg

Qg

Qmax

Qmin

Vg

mBase

status

Pmax

Pmin

Pc1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

318

0

100

-100

1.02

100

1

318

0

0

1

0

0

100

-100

1

100

1

0

0

0

 

Tabla 3: Datos de Barras del Sistema

Barra

Tipo

Pd

Qd

Gs Bs

rea

Vm

Va

baseKV

zona

Vmax

Vmin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

50

30.99

0

1

1

0

230

1

1.1

0.9

2

1

170

105.35

0

1

1

0

230

1

1.1

0.9

3

1

200

123.94

0

1

1

0

230

1

1.1

0.9

4

2

80

49.58

0

1

1

0

230

1

1.1

0.9

 

 

Datos de sistema 9 barras

Figura 1: Diagrama unifilar sistema de 4 barras

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tabla 4: Datos de Impedancia del sistema

Desde

Hasta

R

X

b

rateA

rateB

rateC

status

angmin

angmax

1

4

0

0.0576

0

250

250

250

1

-360

360;

4

5

0.017

0.092

0.158

250

250

250

1

-360

360;

5

6

0.039

0.17

0.358

150

150

150

1

-360

360;

3

6

0

0.0586

0

300

300

300

1

-360

360;

6

7

0.0119

0.1008

0.209

150

150

150

1

-360

360;

7

8

0.0085

0.072

0.149

250

250

250

1

-360

360;

8

2

0

0.0625

0

250

250

250

1

-360

360;

8

9

0.032

0.161

0.306

250

250

250

1

-360

360;

9

4

0.01

0.085

0.176

250

250

250

1

-360

360;

 

Tabla 5: Datos de Generacin del Sistema

BARRA

Pg

Qg

Qmax

Qmin

Vg

mBase

status

Pmax

Pmin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

72.3 27.03

300

-300

1.04

100

1

250

10

0

2

163

6.54

300

-300

1.025

100

1

300

10

3

85

-10.95

300

-300

1.025

100

1

270

10

Tabla 6: Datos de Barras del Sistema

bus_i

type

Pd

Qd

Gs/Bs

area

Vm

Va

baseKV

zone

Vmax

Vmin

 

1

3 (slack)

0

0

0

1

1

0

345

1

1.1

0.9;

 

2

2

0

0

0

1

1

0

345

1

1.1

0.9;

 

3

2

0

0

0

1

1

0

345

1

1.1

0.9;

 

4

1

0

0

0

1

1

0

345

1

1.1

0.9;

 

5

1

90

30

0

1

1

0

345

1

1.1

0.9;

 

6

1

0

0

0

1

1

0

345

1

1.1

0.9;

 

7

1

100

35

0

1

1

0

345

1

1.1

0.9;

 

8

1

0

0

0

1

1

0

345

1

1.1

0.9;

 

9

1

125

50

0

1

1

0

345

1

1.1

0.9;

 

Barra tipo 3= Slack.

Barra tipo 2= PV.

Barra tipo 1= Carga.

 

 

 

 

Anlisis y discusin de resultados

Resultados de clculos de flujos de potencia

 

Tabla 7: Comparacin de resultados por iteracin

COMPARACIN NMERO DE ITERACIONES

 

 

SISTEMA DE 4 BARRAS

SISTEMA DE 9 BARRAS

GAUSS SEIDEL

NEWTON RAPHSON

GAUSS SEIDEL

NEWTON RAPHSON

Nmero de Iteraciones

28

3

210

4

Tiempo (seg)

0,04

0,08

1,3

0,1

 

Tabla 8: Prdidas de Potencia en el Sistema de 4 barras

PRDIDAS DE POTENCIA EN EL SISTEMA DE 4 BARRAS.

Desde Barra

Hasta Barra

GAUSS SEIDEL

NEWTON RAPHSON

Prdidas en Lneas

Prdidas en Lneas

MW

Mvar

MW

Mvar

1

2

0,227

1,130

0,227

1,130

1

3

1,031

5,160

1,031

5,160

2

4

1,715

8,580

1,715

8,580

3

4

1,835

9,180

1,835

9,180

SUBTOTAL

4,81

24,05

4,81

24,05

 

Tabla 9: Voltajes en sistema de 4 barras

VOLTAJE EN SISTEMA DE 4 BARRAS

No BARRA

GAUSS SEIDEL

NEWTON REPHSON

MAGNITUD VOLTAJE

NGULO DE VOLTAJE

MAGNITUD VOLTAJE

NGULO DE VOLTAJE

1

1,000

0,000

1,000

0,000

2

0,982

-0,976

0,982

-0,976

3

0,969

-1,872

0,969

-1,872

4

1,020

1,523

1,020

1,523

 

Tabla 10: Prdidas de potencia en el sistema de 9 barras.

PRDIDAS DE POTENCIA EN EL SISTEMA DE 9 BARRAS.

#

Desde Barra

Hasta Barra

GAUSS SEIDEL

NEWTON RAPHSON

Prdidas en Lneas

Prdidas en Lneas

MW

Mvar

MW

Mvar

1

1

4

0,000

3,120

0,000

3,120

2

4

5

0,166

0,900

0,166

0,900

3

5

6

1,354

5,900

1,354

5,900

4

3

6

0,000

4,100

0,000

4,100

5

6

7

0,088

0,750

0,088

0,750

6

7

8

0,475

4,030

0,475

4,030

7

8

2

0,000

15,830

0,000

15,830

8

8

9

2,300

11,570

2,300

11,570

9

9

4

0,258

2,190

0,258

2,190

SUBTOTAL

4,641

48,39

4,641

48,39

 

Tabla 11: Voltajes en sistema de 9 barras.

VOLTAJE EN SISTEMA DE 9 BARRAS

BARRA

 

GAUSS SEIDEL

NEWTON RAPHSON

MAGNITUD VOLTAJE

NGULO DE VOLTAJE

MAGNITUD VOLTAJE

NGULO DE VOLTAJE

1

1,040

0,000

1,040

0,000

2

1,025

9,280

1,025

9,280

3

1,025

4,665

1,025

4,665

4

1,026

-2,217

1,026

-2,217

5

1,013

-3,687

1,013

-3,687

6

1,032

1,967

1,032

1,967

7

1,016

0,728

1,016

0,728

8

1,026

3,720

1,026

3,720

9

0,996

-3,989

0,996

-3,989

 

Es evidente que ambos mtodos permiten resolver los sistemas de ecuaciones no lineales de un SEP de tal manera, en ambos mtodos los resultados son similares pues no se aprecian diferencias sustanciales en los valores de mdulos de voltajes en barras y sus ngulos, valores de potencia inyectada en la barra oscilante o slack as como los flujos de potencia y prdidas en el sistema.

Se puede apreciar conforme a los resultados, que el nmero de iteraciones necesarias para llegar a la convergencia que satisfagan los valores de tolerancia establecidos, resultan ser menores en el mtodo Newton Raphson comparados con el mtodo Gauss Seidel. A ms de ello se aprecia, que en el mtodo de Newton Raphson, el nmero de iteraciones para llegar a los resultados es casi independiente del tamao del SEP.

Dentro del anlisis resultante de la matriz de admitancia del sistema, puede apreciarse que se confirman las propiedades de la matriz de admitancia como el hecho que resulta, ser de tipo simtrica y cuadrada, as como tambin que, en sistemas muy grandes, la matriz de admitancia tendr como caracterstica ser altamente dispersa, es decir con muy pocos elementos distintos de cero por lo que, podra resultar algo ms complicado encontrar su inversa Zbarra.

 

Conclusiones

De no existir al menos un elemento enlazado a la barra de referencia, la matriz de admitancia del SEP sera de tipo singular, para lo cual su inversa no estara definida.

El mtodo de Newton Raphson requiere menor cantidad de interacciones para llegar a la convergencia en comparacin con el mtodo Gauss Seidel.

En el mtodo de Newton Raphson, el nmero de iteraciones para llegar a los resultados es casi independiente del tamao del SEP, debido a sus caractersticas cuadradas de convergencia.

El tamao del sistema afecta en el nmero de iteraciones del mtodo Gauss Seidel, lo que lo hace demandar mayor cantidad de memoria y recursos.

 

Referencias

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  6. A. A. Hernndez, "ANLISIS DE FLUJOS DE POTENCIA," UNIVERSIDAD AUTNOMA DE ZACATECAS, 2013.
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  8. G. Gilbert, D. Bouchard, and A. Chikhani, "A comparison of load flow analysis using DistFlow, Gauss-Seidel, and optimal load flow algorithms," in Conference Proceedings.IEEE Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering (Cat. No. 98TH8341), 1998, vol. 2, pp. 850-853: IEEE.
  9. H. S. Hardy and S. M. Poblete, "Clculo del flujo de potencia en sistemas elctricos por el mtodo Gauss Seidel-matriz impedancia de barras," 2020.
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